Ya he solucionado el problema, pero voy a compartir el procedimiento para personas que lo puedan experimentar (ya que no se puede encontrar información clara sobre este tema en ningún lugar).

Para pasar la Nintendo Network ID (y sus juegos digitales) de una 3ds a otra debes desvincularla de la primera para que te la dejen poner en la nueva. En caso de que no la hayas desvinculado no pasa nada, tienes que ponerte en contacto con el servicio técnico de Nintendo (facilitando los datos de la cuenta) para que la desvinculen. El siguiente paso es ponerla entrando en “Configuración de la consola” (si tenias una nueva tendrás que formatear la consola). El paso final (recuperar los juegos) es simple, entra en la eShop, pulsa “Menú”, luego “Configuración/Otros”, después baja a “Historial” y finalmente pulsa “Programas” que se pueden volver a descargar”.